#8-1 전송선로란? 임피던스 매칭?

 

[그림 1. 전송선로]

 

전송선로란 무엇일까요? 전자공학을 전공한 분들은 굉장히 많이 들어보셨을 거에요. 하지만 이게 도무지 뭘 말하는건지 졸업할 때 까지도 잘 이해가 안되는 분들이 많을거라고 생각합니다. 저 또한 그랬구요. 전송선로 라고 하니 뭔가 신호가 흐르는 구리같은 도체를 선으로 만들어 놓은건가 싶기도 하고, 그림 1과 같이 R, L, C를 이용해서 회로가 구성되어 있는걸 보면 어떤 선을 회로적으로 모델링한건가? 싶기도 할 겁니다. 다 맞는 말이에요. 하지만 어렴풋이 느낌은 있지만 잘 와 닿지는 않을 거라고 생각 합니다. 굉장히 어렵죠! 사실 전송선로를 이해하기 위해서는 약간의 전자기장에 대한 개념을 갖고 가야 합니다. 전자기장이라고 하면 멕스웰 방정식부터 생각나면서 보기도 싫은 분들이 많을거라 생각합니다만, 그런 복잡한 해석까지 알 필요는 없습니다. 너무나도 어렵기도 하구요. 자, 그러면 대표적인 전송선로인 동축케이블과 PCB가 있으니 이 두 가지를 가지고, 전송선로 모델링이 어떻게 나왔는지부터 알아 보겠습니다. 
 

[그림 2. 동축 케이블의 전자기장(좌), PCB microstrip line의 전자기장]

 

그림 1의 동축케이블을 보면 전류가 흐르는 신호선과 수직으로 E-field가 형성되고, 앙페르의 오른손 법칙에 의해 H-field가 생성 됩니다. 그림 1의 Microstrip line에서도 동일하게 적용 됩니다. 이렇게 두 개의 도체로 이루어진 전송선로 사이에서 E-field가 형성되고 전류가 흐르는 도체에서 역시 H-field가 형성됩니다. E-field는 커패시터 성분을 H-field는 인덕터 성분을 만들어 내는데 그도 그럴 것이 E-filed는 두 도체 사이에서 발생하기 때문에 캐패시터와 같은 형태가 되고, H-field는 전류가 흐르는 도체에서 폐루프를 형성하기 때문에 인덕터와 같은 형태가 되는거죠. 그리고 전류가 흐르는 도체는 초전도체가 아닌 이상 저항 성분을 발생시킨다는 것을 우리는 알고 있습니다. 자, 우리는 이렇게 전송선로에서 커패시터 성분과 인덕터 성분, 그리고 저항성분이 생긴다는 것을 알았습니다. 뭔가, 회로적으로 모델링할 수 있을 것 같다는 느낌이 옵니다. 그렇게 해서 그림 1과 같이 전송선로의 회로 모델링이 나온 겁니다. 복잡한 전자기장 현상을 이렇게 해석하기 편한 회로로 모델링할 수 있다는 사실이 굉장히 고맙게 느껴집니다. (하나 빠뜨린게 있는데 그림 1의 G 성분은 유전체에 의한 저항 성분의 역수(전기전도도)라고 이해하시면 됩니다.유전체는 기본적으로 절연체이기 때문에 저항성분이 굉장히 크고, 전기전도도가 낮기 때문에 이상적으로 G=0 입니다.)
 
전송선로가 이렇게 회로적으로 R, G, L, C로 모델링 된다는 사실을 이해했는데 그러면, 전송선로를 왜 알아야 할까요? 왜 전송선로 개념이 중요할까요? 그건 바로 임피던스 매칭 개념 때문입니다. 우리는 신호가 손실과 변형없이 출발점부터 목적지까지 도착하길 바랄 겁니다. 그럴려면 출발점부터 목적지까지 선로의 특성이 동일해야 하죠. 선로의 특성이 변하면 신호의 변형이 일어납니다. 그래서 선로의 특성을 일정하게 해야하는데 선로의 특성을 동일하도록 맞추는 작업을 임피던스 매칭이라고 합니다. 조금 더 이해를 돕기위해 이 선로를 도로에 비유해 봅니다. 차량은 신호가 되겠죠. 도로의 폭이 중간에 좁아지면 차들의 속력이 줄어들고, 도로가 끊어지면 차들은 돌아가야 합니다. 그래서 차량이 항상 일정한 속도로 갈 수 있도록 도로의 폭을 일정하게 유지하고 끊어진 곳은 이어줘야 합니다. 이런 작업들이 임피던스 매칭 입니다. 임피던스 매칭에 대해 좀더 자세히 알아보기 위해 다시 전송선로로 돌아가 봅니다.
 
그림 1에서 전송선로를 회로 소자 R, G, L, C로 모델링 하였는데 이를 가지고 전송선로의 특성 임피던스를 구할 수 있습니다. 특성 임피던스란 해당 전송선로가 가진 임피던스라고 이해하시면 됩니다. 특별한게 아니에요. 특성 임피던스를 보통 Z0라고 표현하고, 아래 수식 1)을 따릅니다.
 

수식 1)

 
전송선로의 손실이 없다고 가정하면 R=0, G=0 이고, 수식 2)와 같이 L과 C에 의해 결정됩니다.
 

수식 2)

 
특성 임피던스 Z0를 유도하는 방법은 전송선로의 회로 방정식과 전압과 전류를 파동으로 본 파동 방정식을 풀면 되는데 Z0는 L과 C에 의해 결정된다는 결과만 알아도 충분합니다. 
 

[그림 3. 특성 임피던스 공식]

 
그림 3과 같이 Z0의 L과 C는 다시 PCB microstripline의 w와 d에 의해 제어된다는 사실을 확인할 수 있습니다. 즉, 도체의 넓이와 유전체의 두께에 의해 전송선로의 특성 임피던스가 결정된다고 볼 수 있습니다. 유전체 두께 d의 경우 PCB상의 모든 전송선로에 동일하게 적용되는 값이므로 각 선로 별로 다른 임피던스를 적용하려면 도체의 넓이 w 값을 변경하여 독립적으로 적용 가능 합니다. 일반적으로 특성 임피던스는 50Ω으로 설계하도록 약속하였기 때문에 유전체의 두께 d와, 도체의 넓이 w 값을 조절하여 설계할 수 있습니다. 하지만 전송선로 별로 50Ω이 아닌 다른 값을 적용해야 하는 경우가 종종 생기는데 그럴 경우에는 해당 선로에만 w값을 변경하면 됩니다.
 
다시, 임피던스 매칭으로 돌아가 봅니다. 앞서 전송선로를 도로에 비교 했었는데 그림 4와 같이 특성 임피던스 Z0가 50Ω에서 100Ω으로 바뀐 경우를 도로의 폭이 갑자기 좁아진 경우라고 이해할 수 있습니다. 
 

[그림 4. 특성 임피던스 변화(좌), 도로의 차선 변화(우)]

 

이와 같이 도로가 2차선에서 1차선으로 줄어들게 되면 차량의 통행 흐름이 느려지고, 유턴해서 더 빠른 곳을 찾아가는 차량도 일부 생길 겁니다. 이 것을 임피던스 매칭이 안되서 신호의 반사가 생겼다고 표현 합니다. 이렇게 반사된 정도를 표현하는 팩터가 있는데 이를 반사 계수 r 라고 합니다. 반사 계수 r는 입사 신호 대비 반사된 신호의 양으로 표현하고, 그림 5와 같은 수식에 의해 결정됩니다.
 

[그림 5. 반사계수, 투과계수]

 

그림 5와 같이 Z01=50Ω, Z02=100Ω 일 때, 반사 계수 r는 수식에 의해 1/3이 됩니다. 약 30%의 신호가 투과되지 못하고 반사되서 돌아갑니다. 우리는 신호가 반사없이 투과되서 전달되기를 바라는데 이렇게 반사가 생기면 약 70%의 신호만 통과 됩니다. 만약 Z02=50Ω으로 Z01과 매칭이 되었다고 하면 반사 계수 r=0이므로 모든 신호가 전달되었다고 할 수 있죠. 그런데, Z02=100Ω인 경우를 다시 봅시다. 반사 계수 r=1/3이어서 일부 신호가 반사되었는데도 불구하고, 투과계수 T는 그림 5의 수식에 따라 4/3가 되었습니다. 왜 그럴까요? 이건 위상과 관련된 문제 입니다. 입사신호 V0와 반사신호 VR이 동 위상이라면 투과계수는 최대 2까지 증가할 수 있습니다. 그리고 위상이 반대라면 투과계수 T는 0까지 감소할 수 있습니다. 이 부분을 잘 유념해야 합니다. 반사계수가 1이라고 해서 투과계수는 0이 아니라는 사실!
자, 그러면 여기서 또 한가지 의문이 생길 겁니다. 투과계수가 2가 되는 조건(Z02는 무한대일 경우)에서 입사신호 V0가 1V일 때, 투과신호 VT는 2V가 될까? 실제 입사신호 V0는 애초에 소스에서 입력될 때부터 매칭이 됐다는 가정하에 신호의 크기가 절반으로 줄어서 나옵니다. 그림 6을 봅시다.
 

[그림 6. 소스와 전송선로의 연결]

 
입력 소스 Vs를 2V, 소스 저항 Rs를 50Ω 라고 할 때, 소스와 전송선로를 연결하면 V0는 1V가 인가됩니다. 그래서 Z02가 무한대 임피던스가 되어 투과계수가 2가 된다고 하더라도 실제 투과되는 전압은 소스 전압과 동일한 2V가 됩니다. 아니 그러면, 그림 6과 같이 부하저항 임피던스가 클수록 신호 전달 측면에서 유리한게 아닌가? 라는 의문을 또 가지게 될 겁니다. 전압 관점에서 보면 맞는 말이지만 전류 관점에서 보면 틀린 말입니다. 무한대의 저항으로 전류가 흐를 수 없죠. 물론, 때에 따라서는 전압이나 전류 한 가지만 잘 전달하면 됩니다. 하지만, 일반적으로는 전압과 전류 모두를 고려한 전력 관점에서 보아야 하죠. 즉, 부하저항으로 전달하는 전력 손실을 최소화 하고 싶기 때문에 회로이론에서 최대전력 전송이라는 개념이 나왔고,이를 반사계수와 관련지어 설명하는 개념이 바로 임피던스 매칭 입니다. 다시 말해, 반사계수가 0일 때, 임피던스 매칭이 됐다고 말하고, 이 때 최대 전력 전송이 가능해 집니다.
 
여기까지 전송선로에 대해 알아봤습니다. 모든 전송선로에서 임피던스 매칭을 하는게 최선일까요? 꼭 그렇진 않습니다. 신호 전달의 관점을 전압 측면에서 볼꺼냐 전류 측면에서 볼꺼냐에 따라 달라지기 때문이죠. 이 부분에 대한 얘기는 다음 포스팅에서 좀 더 상세하게 다뤄보도록 하겠습니다~!