#25. 고조파(Harmonics) 발생 원인 쉽게 이해하기

RF 신호를 다루다 보면 고조파 또는 Harmonics라는 말을 참 많이 듣습니다. 고조파의 의미는 정말 단순합니다. 사용하는 신호 주파수의 2배, 3배, 4배, 5배.. 와 같이 정수배에 해당하는 주파수의 신호성분을 뜻합니다. 전자회로는 반도체 소자들로 이뤄져있고, 반도체 소자들은 물리적인 특성상 항시 고조파 성분을 포함하고 있습니다. 예를들어 어떤 전자 장비에서 2.4GHz의 신호를 송신하면 4.8GHz(2배), 7.2GHz(3배), 9.6GHz(4배)...의 고조파성분이 스펙트럼 어널라이저로 측정 됩니다. 이런 고조파 성분은 원치 않는 노이즈를 만들어내기 때문에 수신기 입장에서 수신률을 떨어뜨리는 요소가 됩니다. 물론 고조파 성분은 원래 신호 주파수의 2배, 3배, 4배...에 해당하기 때문에 필터에 의해 간단히 걸러지기도 합니다만 분명 신호처리에 있어서 악영향을 끼치기 때문에 잘 알고 있어야 합니다.

 

그러면 이 고조파 성분이 어떻게 만들어질까요? 앞서 얘기했듯 반도체 소자는 항시 고조파 성분을 생성하는데 전자회로에서 가장 기본적인 소자인 다이오드와 MOSFET이 어떻게 고조파 성분을 생성하는지 봅시다. 다이오드, MOSFET 모두 전압을 입력으로 받고 전류를 출력하며, 유사한 그래프 형태를 가집니다. 그래프 모양은 그림 1과 같이 나타납니다. 다이오드는 입력 전압 Vd에 대해 전류 Id가 출력되고, MOSFET은 Gate 전압 Vgs에 대해 전류 Ids가 출력됩니다. 두 소자가 선형소자라면 그림 1의 그래프는 1차함수의 형태를 띄겠지만 비선형 소자이기 때문에 1차 함수가 아닌 2차, 3차, 4차...n차 함수를 포함하고 있는 형태의 그래프가 됩니다. 결국엔 다이오드, MOSFET을 포함한 반도체 소자는 입력 전압이 커질수록 기하급수적으로 출력이 증가하는 비선형성을 가지기 때문에 고조파가 생긴다고 할 수 있습니다.

 

[그림 1. 반도체 소자의 입력 전압에 대한 출력 전류]

 

이렇게 반도체 소자는 비선형적인 특성을 나타내는데 이를 수식으로 표현하면 아래 수식 1과 같이 표현 할 수 있습니다. 입력 전압이 커질수록 고차함수의 영향이 커지는 것을 알 수 있습니다.

 

수식 1)

 

여기서 입력 전압 x를 크기 A, 주파수 f를 가진 신호라고 하면 아래 수식 2와 같이 표현할 수 있습니다.

 

수식 2)

 

수식 2를 수식 1에 대입하면, 수식 3과 같습니다.

 

수식 3)

 

제곱, 세제곱 삼각함수의 공식을 사용하여 수식을 정리하면 마지막으로 수식 4의 결과를 얻을 수 있습니다.

 

수식 4)

 

수식 4를 보면 제곱, 세제곱 항에 의해 각각 2배, 3배 고조파가 나오는 것을 확인할 수 있습니다. 수식은 세제곱까지만 표현했지만 네제곱, 다섯제곱 등의 항을 포함한다면 4배, 5배.. 고조파 역시 나옵니다.

 

 각 항의 계수 a₁, a₂, a₃.. 은 차수가 올라갈수록 작아지는 특성이 있으며, 스펙트럼 어널라이저로 측정해보면 그림 2와 같이 측정되는 것을 확인 할 수 있습니다.

 

[그림 2. 고조파 스펙트럼 어널라이저 측정]

 

그림 2의 경우 1차 주파수가 5MHz이고, 2차 이상의 고조파가 측정되며 차수가 커질수록 크기가 줄어드는 경향이 있는 것을 확인할 수 있습니다. 

 

시뮬레이션으로도 충분히 고조파를 확인할 수 있습니다. LTSpice를 이용하여 그림 3. (a)와 같이 OPAMP 회로를 구성하고, 출력 전압 Vout을  FFT(Fast Fourier Transform)를 취하면 그림 3. (b)와 같이 주파수 도메인에서 1차를 포함한 n차 고조파를 확인할 수 있습니다.

 

[그림 3. (a) OPAMP 회로 구성, (b) FFT 시뮬레이션 결과 고조파 확인]

 

그림 3. (a)의 OPAMP 입력으로 100mV, 1MHz의 사인파를 인가하고, 11배의 이득을 가지도록 피드백을 구성한 후, FFT 시뮬레이션을 취해보면 그림 3. (b)와 같이 1MHz에서 1차 주파수, 2MHz에서 2차, 3MHz에서 3차 ... 등 고조파가 출현하는 것을 확인할 수 있습니다. 

 

여기까지 고조파가 생기는 원인에 대해 알아보았습니다. 고조파는 1차 주파수 보다 2배 이상 떨어져 있어 많은 부분 필터링 될 수 있지만 Mixer와 같은 소자와 사용할 경우 굉장히 많은 Spurious를 양산할 수 있기 때문에 항시 주의를 기울여야 하는 요소임에는 틀림없습니다.